VEKTOR (perbandingan ruas garis dalam bentuk vektor dan proyektor ortogonal suatu vektor pada vektor lain )

D. PERBANDINGAN RUAS GARIS DALAM BENTUK VEKTOR

P, Q dan R adalah titik-titik sembarang dalam sistem koordinat cartersius, maka OP, OQ dan QR dapat diwakili oleh vektor p,q dan r. Vektor p, q dan r disebut vektor posisi dari titik-titik P,Q dan R.

1. Perbandingan segmen garis
Segmen garis adalah bagian dari suatu garis yang menunjukkan suatu jarak. Jadi, perbandingan segmen garis adalah perbandingan antara suatu garis dengan garis lainnya yang menunjukkan suatu jarak.

● Jika P membagi ruas garis AB di dalam dengan perbandingan m : n

Maka koordinat titik P dapat dicari dengan :

● Jika P membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan m : -n

                                ILUSTRASI

Contoh soal :
Misalkan vektor posisi titik A adalah vektor a dan vektor posisi titik B adalah vektor b. Pada ruas garis AB, terdapat titik C sedemikian rupa sehingga mempunyai perbandingan AC:CB = 1: 3. Tentukan vektor posisi titik C.

Jawab :
Dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, maka untuk mencari vektor c dapat diperoleh

                                     TRIK
Misal titik R terletak pada garis PQ sedemikian rupa sehingga vektor PQ : vektor QR = m : n. Vektor posisi r adalah sebagai berikut :

Sehingga

2. Titik-titik segaris (kolinear)
Titik-titik segaris (kolinear) adalah titik-titik yang saling terhubung dalam sebuah garis yang sama. Tentu kalian masih mengingat bahwa jika k suatu skalar dan vektor a = k.vektor b maka vektor a dan b sejajar. Demikian juga, jika vektor AB = k.vektor BC sejajar.
Perhatikan gambar berikut :

Titik A, B dan C terletak segaris. Pasti vektor AB sejajar dengan vektor BC sehingga dapat ditulis vektor AB = k.vektor BC. Karena B adalah titik yang sama-sama dilalui oleh vektot AB dan vektor BC maka A, B, dan C adalah segaris. Jadi, dua atau tiga garis dikatakan segaris apabila garis itu sejajar dan juga harus mempunyai titik yang sama-sama dilalui garis itu.

Contoh soal :

3. Teorema Ceva (pengayaan)
Teorema ceva adalah teorema tentang segitiga dalam bidang geometri. Misalkan diberikan segitiga ABC. Titik D,E dan F berturut-turut terletak pada sisi BC, CA dan AB sedemikian rupa sehingga ruas garis AD, BE dan CF berpotongan di satu titik maka berlaku teorema Ceva berikut:

Contoh soal :

E. PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN

Proyeksi Orthogonal adalah proyeksi suatu titik, garis, bidang, dan benda terhadap suatu bidang proyektor yang tegak lurus terhadap bidang proyektornya. Perhatikan gambar berikut :

Pada gambar tersebut, ptoyeksi titik A pada ruas garis AD adalah titik A sendiri. Proyeksi titik B pada ruas garis AD adalah titik C. Proyeksi ruas garis AD adalah ruas garis AC.
Vektor c adalah proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b. Vektor c dapat diperoleh dengan menarik titik ujung vektor a, kemudian memproyeksikannya pada vektor b. Vektor c ini memiliki arah yang sama dengan arah vektor b. Vektor dapat ditentukan dengan cara berikut :
Misalkan c adalah vektor satuan dari vektor c. Akibatnya, vektor c = |vektor c|.c. karena vektor c searah dengan vektor b maka vektor juga merupakan vektor satuan vektor b. Dengan demikian, vektor b = |vektor b|.b = |vektor b|.c.
Oleh karena itu, diperoleh vektor c = |vektor c|.b = vektor a•vektor b/|vektor b|.b
Bentuk lain dari vektor c adalah dengan mengubah bentuk diatas dengan mengingat
b = vektor b / |vektor b|
Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah vektor c, yaitu :

Kita akan menemukan panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b, yaitu |vektor c|, perhatikan ilustrasi berikut :

Kita dapat memperoleh :

Kalian tentu tahu bahwa

Oleh karena itu, diperoleh

Perlu kalian ketahui bahwa panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b biasa juga disebut sebagai proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada vektor b.

Contoh soal :

Subscribe to receive free email updates: